5.4  Симметризация уравнений Максвелла

Альберт Эйнштейн открывает свою работу 1916 года «Новое формальное истолкование электродинамических уравнений Максвелла» следующей оценкой принятой формы записи уравнений Максвелла:

Используемая до сих пор теоретико-ковариантная трактовка уравнений электродинамики восходит к Минковскому. Она может быть охарактеризована следующим образом. Компоненты электромагнитного поля образуют 6-вектор (антисимметричный тензор 2-го ранга). Ему сопоставляется второй 6-вектор, дуальный первому, который в случае специальной теории относительности отличается от первого не значениями компонент, а лишь тем, как эти компоненты сопоставляются четырём координатным осям. Обе системы уравнений Максвелла можно получить, если положить дивергенцию одного из этих 6-векторов равной нулю, а дивергенцию второго положить равной 4-вектору электрического тока. [33,с.508]

В такой формулировке уравнения Максвелла принимают вид:

Такие «упрощённые» обозначения использовал Вольфганг Паули в §28. Ковариантность основных уравнений электронной теории [1,с.116-120]. Здесь, дополнительно изменено написание 4-вектора (плотности) электрического тока (скорости) sⁱ=ρ₀uⁱ на ρ₀U, в полном соответствии с тем, как это принято в 5.2 Уравнения Максвелла выделяют гиперболическое движение источников поля.

Эйнштейн, фактически, переоткрывает в §1. Уравнения поля цитированной работы [33] известную Минковскому форму записи «магнитных» уравнений Максвелла, заменяет уравнения  div*F=0  на  rotF=0  и записывает уравнения Максвелла в виде:

Паули оставил нам следующее описание сложившейся к тому времени ситуации вокруг «естественной» трактовки «магнитных» уравнений Максвелла и (физически или математически) предпочтительной формы их записи:

Как известно, в обыкновенном пространстве E есть полярный, а H – аксиальный вектор, но не наоборот. Мы должны поэтому считать описание электромагнитного поля с помощью тензора F естественным, а описание поля с помощью тензора *F – искусственным. У Минковского (Минковский I, см. [2.I]) имеются оба написания уравнений поля. Первое из них [rotF=0], во многих случаях, в частности, в общей теории относительности, более наглядное и удобное, оказалось впоследствии забытым и, например, не используется Зоммерфельдом [4]. Впервые на него вновь обратил внимание Эйнштейн [33] в 1916 г. [1,§28,с.117]

Запишем «симметризованные» уравнения Максвелла подобно тому, как это было сделано в 5.2 в формулах (M.div) и (M.rot), но теперь, – с помощью 4-векторного потенциала A и *A – антисимметричного псевдотензора 3-го ранга, дуального 4-вектору потенциала A:

При этом, остаются справедливыми уравнения (вместе с «дуальными» им), связывающие пару потенциалов поля (A,*A) с парой тензоров Максвелла (F,*F), равно как и давно (и хорошо) известная «загадочная» пара форм записи «магнитных» уравнений (во втором столбце):

«Загадочность» факта существования именно пары форм для записи магнитных уравнений Максвелла rotF=0 и div*F=0 заключается, прежде всего, в их кажущейся избыточности. Если псевдотензор *F, действительно, входит только в уравнение div*F=0, и это уравнение физически «эквивалентно» (по своему действию на соответствующие компоненты поля) уравнению rotF=0, тогда можно ограничить себя выбором Эйнштейна, изложенным им в [33]. Соответственно, – «обоснованно» отмахнуться от каких-либо поисков ещё не выявленной физической нагруженности наблюдаемого «дублирования» уравнения rotF=0 ещё и уравнением div*F=0. Тем более, что обе формы записи «магнитных» уравнений Максвелла приводят, в конечном счёте, к одной и той же системе уравнений для компонент электромагнитного поля:

где: дифференциальные 3-операторы rot и div действуют на компоненты электрического E и магнитного H поля.

Более точно, – в обоих случаях получается ровно четыре независимых уравнения относительно компонент полей E и H, которые могут быть записаны в совпадающей 3-векторной форме (7). Оператор 4-дивергенции, действуя на антисимметричный псевдотензор 2-го ранга *F, превращает его в псевдотензор 1-го ранга, имеющий четыре компоненты. В свою очередь, – оператор 4-ротора, действуя на антисимметричный тензор 2-го ранга F, превращает его в антисимметричный тензор 3-го ранга, имеющий также четыре независимых компоненты. Обе эти «четвёрки» уравнений, представленные тензорами 1-го и 3-го ранга, допускают единую 3-векторную форму записи (7). Такое совпадение числа независимых компонент у тензоров 1-го и 3-го ранга в 4-мерном пространстве, происходит только для 4-тензоров 3-го ранга, антисимметричных по всем своим парам индексов.

После Минковского, по большей части, были утрачены и острота переживания «загадочности» факта наличия сразу пары форм записи «магнитных» уравнений Максвелла, и настойчивость в усилиях по выявлению как физического, так и эвристического значения этого факта. На передний план стала выдвигаться «избыточность» и необходимость делать выбор одной из форм записи в качестве основной, лучше (адекватнее) отражающей физическую природу поля.

Для последующих поколений физиков основной источник, питающий их устойчивый интерес к поиску истинных («симметризованных») уравнений поля, лежал совсем в другом месте. Он представлял собой легче схватываемое и наследуемое, легче передающееся при «физических контактах», предположение-предощущение об «искалеченности» «магнитных» уравнений поля отсутствием в них магнитных монополей в качестве источников магнитного поля.

Образцом для подражания была вторая пара уравнений Максвелла – «электрические» уравнения divF=ρ₀U, которые в областях пространства, «лишённых» электрических зарядов, упрощаются до однородных уравнений относительно полей E и H:

ВНИМАНИЕ! Физический постулат о существовании таких областей пространства, «лишённых» вакуумных (эфирных) источников поля, – только исторически обусловленная ГИПОТЕЗА, крайне сильно упрощающая физическую ситуацию. На основании такого предельного упрощения и была создана классическая теория свободного поля излучения. Именно это упрощение исходной теоретической модели ответственно за возникновение проблем при описании актов излучения и взаимодействия этого излучения с веществом. Другим, «дуальным» ему, упрощающим постулатом была *ГИПОТЕЗА о статичности (отсутствии движения) источников поля у покоящегося электрона электронной теории Лоренца. Эта ПАРА упрощающих постулатов, превращённых со временем в стойкие «самоочевидные» догмы, – привела к «неустранимому» разрыву между полученной, таким путём, классической теорией поля и наблюдаемыми в физических экспериментах фактами, – привела к целому столетию господства феноменологии квантовой теории. Программа Субквантовой Теории Поля – SubQFT – лишает эту, столь длительно пользующуюся полным доверием, пару постулатов их статуса безусловных фундаментальных физических оснований теории поля. Нельзя построить полноценную Теорию Поля в рамках этой пары догматов. Или мы остаёмся в рамках квантовой феноменологии, или, – строим SubQFT. Это принципиально важный момент, о котором следует постоянно помнить, с которым необходимо считаться при чтении этой статьи, равно как и других на этом сайте, при каждом акте самостоятельного анализа и оценке предлагаемого здесь материала.

Именно такие, волевым образом упрощённые, уравнения Максвелла для свободного поля в областях пространства, «лишённых» источников, представленные там уравнениями (7) и (8), очень наглядно и успешно демонстрировали симметрию полей E и H в записи «магнитных» (7) и однородных «электрических» (8) уравнений поля. Отталкиваясь, прежде всего, от этой симметрии, свойственной рукотворному свободному полю излучения электронной теории Лоренца, приобрела популярность квантовая «программа» Дирака, нацеленная на поиск магнитных монополей и «восстановление» «магнитных» уравнений до неоднородных (по образу и подобию «электрических»). Классический вариант попытки реализации этой «программы» находим в предлагаемом решении к Задаче 4.21. из «Сборника задач по теории относительности и гравитации» [32,с.35,194]

где: K^μ – «ток проводимости магнитного заряда» (взятый со знаком минус); μ₀ – (лоренц-инвариантная) скалярная плотность «магнитного заряда» (или магнитных монополей).

Основная страница – http://www.ltn.lv/~elefzaze/ html/php вёрстка: Александр А. Зазерский ©1998–2004  Александр С. Зазерский