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EL TRIÁNGULO DE SIERPRINSKY (Otro clásico de los Fractales)

Exactamente de qué se trata...

No es mucha la información la que puedo entregarle en este momento con respecto al triángulo de Sierprinsky, pero sin duda algo más le podremos aclarar con respecto a su forma y constitución.

Es también conocido como Arandela de Sierprinsky y es un objeto fractal que cae dentro de la dimensión fractal de HOMOTECIA, de forma que:

D=log(3)/log(2)~=1.58496

Definamos como Triángulo de Sierpinski en la iteración n=0 un triángulo equilátero de lado x. En iteraciones sucesivas n=1,2,3..., iremos recortando un triangulo equilatero con la base invertida de lado mitad al de la iteracion anterior del centro del triángulo de la iteración anterior. En nuestra sección de FRACTALES EN JAVA podrá ver claramente cómo es que trabaja en plena generación esta forma.

El modelo teórico de Triángulo de Sierpinski necesitaría un número infinito de iteraciones para construirse.

Teniendose en cuenta que el área de un triangulo equilátero de lado x viene dada por la expresión

                   2
        Raiz(5) * x
A(x) = --------------
              4

Y que el número de triángulos equiláteros que conforman la Arandela de Sierpinski para la iteración n-ésima son

n
3

Cuya longitud de lado (de estos triángulos) en la iteración n-ésima es

 x
---
  n
 2

El perímetro de todos los triángulos viene dado por

              n
             3  * 3 * x
L(x) = Lim  ------------ = Infinito
       n->oo       n
                  2

El área total de los triángulos será

              n              2
             3  * Raiz(5) * x
S(x) = Lim  ------------------- = 0
       n->oo            2n
                  4 * 2

Conforme las iteraciones se suceden, vemos como el área total se va desvaneciendo hasta llegar a cero. Al tiempo, el perímetro de infinitos triángulos tenderá a infinito.

Demostración numérica - Programa en C que calcula numéricamente el área y perímetro

/*
 * El monstruo de Sierpinski
 * Calculo numerico del area y el perimetro en lenguaje C
 * Escrito por Alfredo Zurdo en 1997
 */

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define K	0.559016994374947424102

/*
 * Area del triangulo equilatero de lado x
 *
 * PRECONDICION: x >= 0, K = sqrt(5)/4
 */

double area_tri(double x)
{
	return x * x * K;
}

/*
 * Area total de los triangulos existentes en la n-esima
 * iteracion del triangulo de Sierpinski, x es el lado del
 * triangulo generador en la primera iteracion n=0
 *
 * PRECONDICION: x >= 0, n = 0,1,2,...
 */

double area_sierp(double x, long n)
{
	return pow(3, n) * area_tri(x / pow(2, n));
}

/*
 * Perimetro total de los triangulos existentes en la
 * n-esima iteracion del triangulo de Sierpinski, x es
 * el lado del triangulo generador en la iteracion n=0
 *
 * PRECONDICION: x >= 0, n = 0,1,2,...
 */

double peri_sierp(double x, long n)
{
	return pow(3, n) * 3.0 * x / pow(2, n);
}

main()
{
	long iter[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,50,100,200,500};
	long i;
	double lado = 1.0;

	printf("\nLado generador = %g\n", lado);
	printf("Area teorica = 0\n\n");

	printf("Iter  Area               Perimetro\n");
	printf("===== ================== ==============\n");
	for (i=0; i<16; i++)
	{
		printf("%3d : ", iter[i]);
		printf("%18.15f", area_sierp(lado, iter[i]));
		printf("%15.9g\n", peri_sierp(lado, iter[i]));
	}
}

Salida por pantalla del programa

Lado generador = 1
Area teorica = 0

Iter  Area               Perimetro
===== ================== ==============
  0 :  0.559016994374947              3
  1 :  0.419262745781211            4.5
  2 :  0.314447059335908           6.75
  3 :  0.235835294501931         10.125
  4 :  0.176876470876448        15.1875
  5 :  0.132657353157336       22.78125
  6 :  0.099493014868002      34.171875
  7 :  0.074619761151002     51.2578125
  8 :  0.055964820863251     76.8867188
  9 :  0.041973615647438     115.330078
 10 :  0.031480211735579     172.995117
 20 :  0.001772761366629     9975.77019
 50 :  0.000000316583430  1.9128645e+09
100 :  0.000000000000179 1.21968353e+18
200 :  0.000000000000000 4.95875973e+35
500 :  0.000000000000000 3.33235133e+88

El área teórica de la arandela para un lado incial x=1 es como se esperaba 0, mientras que el perímetro de todos los lados tiende a infinito.

NOTA: éste artículo fue sacado desde otro sitio y no es propia autoría del webmaster de FRACTALES - CHILE

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